Bogdanov inszenierte Musicals und Revuen in Dublin, bevor er 1970 als Regisseur ans Royal Shakespeare Theatre ging, wo er zusammen mit Peter Brook Shakespeares "Sommernachtstraum" inszenierte. Nach Regie-Engagements an verschiedenen britischen Bühnen ging er 1978 ans Londoner Young Vic. 1980 wurde Bogdanov Co-Direktor des National Theatre, wo er insbesondere das "Experimentelle" verantwortete. 1986 gründete er zusammen mit Michael Pennington das Tourneetheater The English Shakespeare Company, für die er die sieben Rosenkriegs-Dramen inszenierte, mit denen er weltweit tourte und 1990 mit dem Laurence Olivier Award für die beste Regie ausgezeichnet wurde.

1986 gab er am Deutschen Schauspielhaus Hamburg während Peter Zadeks Intendanz mit "Julius Cäsar" seinen Regie-Einstand. Nur drei Jahre später folgte er Zadek als Intendant. Die beiden folgenden Jahre an der Spitze des größten deutschen Sprechtheaters waren und endeten turbulent, wie der NDR berichtet: "Der Publikumszuspruch war zwar enorm, doch die Kritiker und manche Politiker taten sich schwer mit Bogdanov. Nach kulturpolitischen und finanziellen Streitigkeiten – vor allem mit dem damaligen Kultursenator Ingo von Münch - trat er 1991 zurück. Auslöser war damals eine Intrige: Ein privater Brief an von Münch wurde einem 'Spiegel'-Redakteur zu- und als Skandal hochgespielt."

Zwar arbeitete Bogdanov anschließend wieder vermehrt in Großbritannien, blieb insbesondere Hamburg aber als Regisseur an Privattheatern verbunden, etwa dem Ohnsorg-Theater, an dem er 2011 eine plattdeutsche Version des Sommernachtstraums inszenierte. Seine Inszenierung von The King's Speech am St. Pauli Theater war 2013 zum nachtkritik-Theatertreffen nominiert und schaffte es unter die zehn von den Usern gewählten Inszenierungen. In der Begründung hieß es: "Michael Bogdanov entfesselt auf der technisch chronisch unterdimensionierten St.-Pauli-Bühne auf dem Hamburger Kiez ein historisch-szenisches Feuerwerk, wie es auch jenseits dieses Mini-Theaters selten zu sehen ist."

Auch als Opern-Regisseur war Bogdanov erfolgreich, zum Beispiel mit der Welturaufführung von Stockhausens "Montag" aus dem "Licht"-Zyklus in der Mailänder Scala.

(NDR / geka)